Hình 3. Đồ thị của tính chia hết của các số từ 1 dến 4. Tập hợp này sắp tự một phần nhưng không toàn phần vì có quan hệ từ 1 đến các số còn lại nhưng không có quan hệ nào từ số 2 đến số 3 hay từ số 3 đến số 4.
Các ví dụ của tập hợp sắp thứ tự một phần trong toán học bao gồm
- Tập số thực, hoặc tổng quát hơn là bất kỳ tập có thứ tụ toàn phần, có quan hệ thứ tự nhỏ hơn hoặc bằng ≤, là tập sắp thứ tự một phần không nghiêm ngặt.
- Vẫn trên tập số thực R {\displaystyle \mathbb {R} } , quan hệ chuẩn nhỏ hơn < là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt. Điều này cũng đúng với quan hệ lớn hơn > trên R {\displaystyle \mathbb {R} } .
- Theo định nghĩa, mọi quan hệ thứ tự yếu nghiêm ngặt là quan hệ thứ tự một phần nghiêm ngặt.
- Tập các tập con của tập cho trước (tập lũy thừa) sắp xếp theo quan hệ chứa trong (xem hình 1). Tương tư như vậy đối với tập các dãy sắp xếp theo dãy con và tập các xâu sắp thứ tự theo xâu con.
- Tập hợp các số tự nhiên cùng quan hệ chia hết. (xem hình 3 và hình 6)
- Tập đỉnh của đồ thị có hướng không chu trình xếp thứ tự theo tính chạm được.
- Tập các không gian con của không gian vectơ xếp thứ tự theo phép chứa.
- Cho tập sắp thứ tự một phần P, không gian dãy chứa tất cá các dãy phần tử của P, trong đó dãy a đứng trước dãy b nếu mỗi phần tử trong a đứng trước phần tử tương ứng trong b. Dưới công thức, ( a n ) n ∈ N ≤ ( b n ) n ∈ N {\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }} khi và chỉ khi a n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq b_{n}} với mọi n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ; đây là quan hệ thứ tự từng phần.
- Cho tập hợp X và tập sắp thứ tự một phần P, không gian hàm chứa mọi hàm từ X đến P, trong đó f ≤ g khi và chỉ khi f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ X . {\displaystyle x\in X.}
- Trong toán học, rào là tập hợp sắp thứ tự một phần được định nghĩa bằng dãy thay phiên các quan hệ thứ tự a < b > c < d ...
- Tập các sự kiện trong tương đối hẹp và trong đa số trường hợp của[lower-alpha 2] tương đối rộng, trong đó cho hai sự kiện X và Y, X ≤ Y khi và chỉ khi Y nằm trong nón ánh sáng của X. Sự kiện Y chỉ có thể là hệ quả của X khi X ≤ Y.
Một ví dụ khác thường gặp trong ngoài đời là tập các con người sắp xếp theo thứ tự phả hệ. Một số cặp người có thể có quan hệ tổ tiên-con cháu nhưng cũng có một số cặp người không so sánh với nhau vì không ai trong cặp là con cháu của người kia.
Thứ tự trên tích Descartes của tập sắp thứ tự một phần
Hình 4a. Thứ tự từ điển trên N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
Hình 4b. Thứ tự tích trên N × N {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }
Hình 4c. Bao đóng phản xạ của thứ tự tích nghiêm ngặt trên N × N . {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} .} Các phần tử
được phủ bởi (3, 3) và phủ (3, 3) được tô màu xanh là và đỏ tương ứng.
Đây là ba trong nhiều quan hệ thứ tự một phần được định nghĩa trên tích đề các của hai tập hợp sắp thứ tự một phần, xếp thứ tự từ yếu đến mạnh (xem hình 4):
- Thứ tự từ điển: (a, b) ≤ (c, d) nếu a < c hoặc (a = c và b ≤ d);
- Thứ tự tích: (a, b) ≤ (c, d) nếu a ≤ c và b ≤ d;
- Bao đóng phản xạ của tích trực tiếp của hai thứ tự nghiêm ngặt tương ứng: (a, b) ≤ (c, d) nếu (a < c và b < d) hoặc (a = c và b = d).
Cả ba đều có thể định nghĩa tương tự cho tích Descartes của nhiều hơn hai tập hợp.
Khi áp dụng cho các không gian vectơ có thứ tự trên cùng một trường, kết quả thu được trong mỗi trường hợp cũng là không gian vectơ có thứ tự.
Xem thêm Quan hệ thứ tự trên tích Descartes của tập sắp thứ tự toàn phần
Tổng của tập sắp tự thứ tự một phần
Một cách khác để hợp hai tập sắp thứ tự một phần (không giao nhau) là tổng thứ tự[12] (hay còn gọi là tổng tuyến tính),[13] Z = X ⊕ Y, được định nghĩa trên hợp của hai tập X và Y theo quan hệ a ≤Z b khi và chỉ khi:
- a, b ∈ X và a ≤X b, hoặc
- a, b ∈ Y và a ≤Y b, hoặc
- a ∈ X và b ∈ Y.
Nếu hai tập sắp thứ tự một phần đó có thứ tự tốt, thì tổng thứ tự của nó cũng vậy.[14]
